概率论习题之标准正态绝对值的期望，概率论习题，标准正态绝对值的期望值解析

摘要：这道概率论习题涉及标准正态分布的绝对值期望。具体而言，题目探讨在标准正态分布下，随机变量绝对值的期望值。这是概率论中一个重要概念的应用，涉及正态分布的性质以及期望值的计算。通过解决这个问题，可以加深对正态分布以及期望值计算的理解。

###一、主要注意的点

####E∣X∣的计算公式：

E∣X∣ 代表随机变量X绝对值的期望，其计算公式为：E∣X∣=\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{|X|f(x)dx}，f(x)是X的概率密度函数，对于标准正态分布N(0,1)，E∣X∣=\sqrt{\frac{2}{\Pi}}。

###二.习题解答

####问题一：已知X服从标准正态分布N(0,1)，求E∣X∣的值。

解：由标准正态分布的性质知，E∣X∣在N(0,1)分布下的值为\sqrt{\frac{2}{\Pi}}。

答案：E∣X∣=\sqrt{\frac{2}{\Pi}}。

####问题二：已知X服从正态分布N(3,9)，求E∣X−3∣的值。

解：首先进行标准化，令Z=(X-3)/3，则Z服从标准正态分布N(0,1)，E∣Z∣=\sqrt{\frac{2}{\Pi}}，由于E∣X−3∣=3E∣Z∣，所以E∣X−3∣的值为\frac{3\sqrt 2}{\sqrt{\pi}}。

答案：E∣X−3∣=\frac{3\sqrt 2}{\sqrt{\pi}}。

####问题三：已知X服从正态分布N(μ,σ^2)，定义Z=|X-μ|，求E(Z)的值。

解：通过标准化，我们有E∣X−μσ​∣=\frac{2}{\pi}，由于E(Z)=σE∣X−μσ​∣，所以E(Z)=\frac{2σ}{\pi}，但当σ=0时，该公式不适用。

答案：若σ>0，则E(Z)=\frac{2σ}{\pi}，否则需进一步分析。问题四：设（x,y）服从二元正态分布（0,0;σ^2），求P{X−Y<某值}的概率。 解：由于缺乏具体数值和上下文信息，无法给出具体的解答过程，需要知道具体的比较值和分布参数才能计算概率，请补充完整的问题描述以便进一步解答。本题主要考查了标准正态绝对值的期望计算，包括在已知正态分布参数下的期望计算以及标准化处理的应用，在解答过程中需要注意不同分布下期望计算公式的应用以及标准化处理对求解的帮助。