【C++】AVL，C++中的AVL树介绍与实现

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摘要：本文介绍了AVL树（平衡二叉搜索树）在C++中的实现原理和应用场景。AVL树通过比较节点的键值来保持树的平衡，确保从根到任何节点的路径中的最长路径不超过最小路径的两倍。这种数据结构适用于需要频繁进行插入、删除和搜索操作的情况，因为它能够保持数据的平衡状态，从而提高搜索效率。在C++中，AVL树广泛应用于各种算法和数据结构实现中。

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前言

一、AVL 树

1.1、AVL树的概念

1.2、AVL树节点的定义

1.3、AVL树的插入

1.4、AVL树的旋转

1.4.1、新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

1.4.2、新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

1.4.3、新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

1.4.4、新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

1.5、AVL树的验证

总结

前言

世上有两种耀眼的光芒，一种是正在升起的太阳，一种是正在努力学习编程的你!一个爱学编程的人。各位看官，我衷心的希望这篇博客能对你们有所帮助，同时也希望各位看官能对我的文章给与点评，希望我们能够携手共同促进进步，在编程的道路上越走越远！

提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

一、AVL 树

1.1、AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年

发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树

左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

【C++】AVL，C++中的AVL树介绍与实现第1张

【C++】AVL，C++中的AVL树介绍与实现第2张

【C++】AVL，C++中的AVL树介绍与实现第3张

a、节点8的右子树 - 左子树，节点8的平衡因子为1；在8的左子树新增一个节点，则8的平衡因子--，为0；
b、节点2的右子树新增一个节点，2的右子树 - 左子树，则2的平衡因子++，为1；

d、2节点的平衡因子为1，则1节点右子树所在高度变了，继续往上更新，执行b操作，1节点平衡因子++，为1。

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 $O(log_2 n)$，搜索时间复杂度O($log_2 n$)。

1.2、AVL树节点的定义

template
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode* _left;// 该节点的左孩子
	AVLTreeNode* _right;// 该节点的右孩子
	AVLTreeNode* _parent;// 该节点的父亲节点
	pair _kv;// pair类型的对象
	int _bf;  // balance factor平衡因子
	AVLTreeNode(const pair& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _bf(0)
	{}
};

1.3、AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL树的插入过程可以分为两步：

按照二叉搜索树的方式插入新节点
调整节点的平衡因子

bool Insert(const pair& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	// 二叉搜索树不允许数据冗余
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first _right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	// 原先数据不存在，开始插入数据
	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first _right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	cur->_parent = parent;// 保留新插入节点的父亲节点
	//...
	// 更新平衡因子(右子树 - 左子树)
	while (parent)
	{
		if (cur == parent->_left)
		{
            // 插入的位置在左边，则父亲节点--；否则就++
			parent->_bf--;
		}
		else
		{
			parent->_bf++;
		}
		if (parent->_bf == 0)
		{
			// 更新结束
			break;
		}
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
			// 继续往上更新
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
		{
			// 当前子树出问题了，需要旋转平衡一下
			if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
			{
				RotateR(parent);
			}
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateL(parent);
			}
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
			{
			}
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
			{
			}
			break;// 旋转完成之后：1、变平衡；2、高度不变，在往上的父亲节点的平衡因子为0
		}
		else
		{
			// 理论而言不可能出现这个情况
			assert(false);
		}
	}
	return true;
}

1.4、AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1.4.1、新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

【C++】AVL，C++中的AVL树介绍与实现第4张

【C++】AVL，C++中的AVL树介绍与实现第5张

【C++】AVL，C++中的AVL树介绍与实现第6张

/*
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子
树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有
右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
2. 60可能是根节点，也可能是子树
如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树*/
// 右单旋 ---> 从下往上更新到parent的平衡因子为-2的时候，需要发生旋转(传的是平衡因子为-2的父亲节点)
void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	parent->_left = subLR;
	// subL节点的右子树不为空的话，才能更改subLR的父亲节点
	if (subLR)
		subLR->_parent = parent;
	subL->_right = parent;
	Node* ppNode = parent->_parent;// parent节点不是根的话，提前保留parent节点的父亲节点
	parent->_parent = subL;
	// parent为根
	if (parent == _root)
	{
		_root = subL;// 根更新
		_root->_parent = nullptr;
	}
	// parent不为根
	else
	{
		if (ppNode->_left == parent)
		{
			ppNode->_left = subL;
		}
		else
		{
			ppNode->_right = subL;
		}
		subL->_parent = ppNode;
	}
	parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

1.4.2、新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

【C++】AVL，C++中的AVL树介绍与实现第7张

// 左单旋 ---> 从下往上更新到parent的平衡因子为2的时候，需要发生旋转(传的是平衡因子为2的父亲节点)
void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	parent->_right = subRL;
	// subRL节点不为空的话，才能更改subRL的父亲节点
	if (subRL)
		subRL->_parent = parent;
	subR->_left = parent;
	Node* ppNode = parent->_parent;// parent节点不是根的话，提前保留parent节点的父亲节点
	parent->_parent = subR;
	// parent为根
	if (parent == _root)
	{
		_root = subR;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	// parent不为根
	else
	{
		if (ppNode->_right == parent)
		{
			ppNode->_right = subR;
		}
		else
		{
			ppNode->_left = subR;
		}
		subR->_parent = ppNode;
	}
	parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

1.4.3、新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

【C++】AVL，C++中的AVL树介绍与实现第8张

三种情况会引发旋转：

如果h > 0，b插入，c的高度变为h，引发旋转；
如果h > 0，c插入，c的高度变为h，引发旋转；
如果h == 0，60为新增引发旋转。

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

void RotateLR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	int bf = subLR->_bf;
	RotateL(parent->_left);
	RotateR(parent);
	if (bf == -1) // 情况一
	{
		subLR->_bf = 0;
		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 1;
	}
	else if (bf == 1) // 情况二
	{
		subLR->_bf = 0;
		subL->_bf = -1;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 0) // 情况三
	{
		subLR->_bf = 0;
		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

1.4.4、新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

【C++】AVL，C++中的AVL树介绍与实现第9张

三种情况会引发旋转：

如果h > 0，b插入，c的高度变为h，引发旋转；
如果h > 0，c插入，c的高度变为h，引发旋转；
如果h == 0，60为新增引发旋转。

void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;
	RotateR(subR);
	RotateL(parent);
	subRL->_bf = 0;
	if (bf == 1)
	{
		// 在c位置插入
		subR->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		// 在b位置插入
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 1;
	}
	else
	{
		// 60为新增
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
	}
}

总结：

假如以Parent为根的子树不平衡，即Parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1. Parent的平衡因子为2，说明Parent的右子树高，设Parent的右子树的根为SubR

当SubR的平衡因子为1时，执行左单旋

当SubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

2. Parent的平衡因子为-2，说明Parent的左子树高，设Parent的左子树的根为SubL

当SubL的平衡因子为-1是，执行右单旋

当SubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原Parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

1.5、AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		_InOrder(root->_left);
		cout _kv.first _right);
	}
	void InOrder()
	{
		// 一般在类里面写递归都要套一层
		_InOrder(_root);
	}

void TestAVLTree1()
{
	int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	AVLTree t;
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
	}
	t.InOrder();
}

【C++】AVL，C++中的AVL树介绍与实现第10张

2. 验证其为平衡树

每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)

节点的平衡因子是否计算正确

bool _IsBalance(Node* root, int& height)
{
	if (root == nullptr)
	{
		height = 0;
		return true;
	}
	int leftHeight = 0, rightHeight = 0;
	// 递归式的检查每一个节点的左右子树高度差与平衡因子是否相等
    // 改成后序，效率提高了
	if (!_IsBalance(root->_left, leftHeight)
		|| !_IsBalance(root->_right, rightHeight))
	{
		return false;
	}
	if (abs(rightHeight - leftHeight) >= 2)
	{
		cout _kv.first