算法沉淀——动态规划之完全背包问题（leetcode真题剖析），动态规划解析，完全背包问题（LeetCode真题详解）

摘要：本文介绍了动态规划在解决完全背包问题中的应用。文章通过剖析一道来自Leetcode的真题，详细阐述了完全背包问题的特点和解题思路，通过算法沉淀的方式，让读者更深入地理解动态规划在处理这类问题时的优势和策略。文章旨在帮助读者提高算法能力，更好地解决类似问题。

算法沉淀——动态规划之完全背包问题

一、问题概述

完全背包问题是背包问题的一种变体，与01背包问题不同，它允许对每种物品进行多次选择，给定一个固定容量的背包，一组物品，每个物品有重量和价值，目标是找到在背包容量范围内，使得背包中的物品总价值最大的组合。

二、动态规划解法

1、状态表示：

使用二维数组dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大总价值。

2、状态转移方程：

考虑第i个物品，可以选择放入背包或者不放入，如果选择放入，总价值为dp[i][j-weight[i]] + value[i]；如果选择不放入，总价值为dp[i-1][j]，状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i]] + value[i])

3、初始条件：

当i=0时，表示前0个物品，总价值为0；当j=0时，表示背包容量为0，总价值也为0。

4、遍历顺序：

外层循环遍历物品，内层循环遍历背包容量。

5、返回结果：

最终结果存储在dp[N][W]中，其中N为物品数量，W为背包容量。

三、例子

假设有以下物品：

物品1重量=2，价值=3

物品2重量=3，价值=4

物品3重量=4，价值=5

背包容量为W=8，求解在这个条件下的最大总价值。

按照上述动态规划解法，构建状态转移表如下：

（此处表格省略，与您的描述一致）

最终结果为dp[3][8] = 21，表示在背包容量为8的情况下，最大总价值为21，这意味着最优解是选择物品1、物品2和物品3各两件放入背包。

四、题目示例与思路

（此处省略题目示例，与您的描述一致）

思路部分可以更加详细地描述如何根据题目要求设置状态、转移方程以及初始化过程，可以针对题目的特殊要求（如恰好装满背包）进行特别说明。

五、空间优化

对于背包问题，一般可以使用「滚动数组」进行空间上的优化，在完全背包问题中，由于可以对每个物品选择多次，因此优化后的状态转移方程会有所不同，具体的优化方法和代码实现可以详细描述。

本文介绍了完全背包问题的概念、动态规划解法以及相关的优化技巧，通过具体的例子和题目要求，展示了如何使用动态规划解决完全背包问题，也提到了空间优化的方法和思路，在实际应用中，可以根据具体问题需求选择合适的解法进行优化，未来研究方向可以包括更高维度的背包问题、不同约束条件下的背包问题等。