数二强化冲刺笔记(下),线性代数,数二强化冲刺笔记(下),线性代数全攻略

马肤

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数二强化冲刺笔记(下)重点阐述了线性代数的内容。该笔记涵盖了线性代数的基本概念、矩阵运算、向量空间、特征值与特征向量、线性变换以及线性方程组的解法等重要知识点。通过深入解析和实例演示,帮助学生在短时间内强化线性代数的理解和掌握,为数学考试做好充分准备。

数二线代部分强化、冲刺阶段重要结论合集,为便于记忆使用了大量个人助记表述,谨慎阅览。

数二强化冲刺笔记(下),线性代数,数二强化冲刺笔记(下),线性代数全攻略 第1张
(图片来源网络,侵删)

UPDATE:已标注部分24真题涉及考点及内容复盘,高数篇末尾追加了真题评价


文章目录

  • 1 行列式计算方法
  • 2 矩阵·特征值·特征向量重要结论
    • AB=O性质
    • 求矩阵高次幂
    • 矩阵可交换
    • 广义初等变换与初等矩阵
    • 行/列满秩矩阵
    • 矩阵方程解法总结
    • 各行/列元素之和为…
    • 秩为1性质
    • 实对称矩阵基本求法
    • 3 向量概念题技巧
      • 证明线性无关
        • 二级结论:右乘表示系数阵C(B=AC)
        • 证明线性表示
        • 证明向量组表示、等价等性质
        • 4 线性方程组
          • 方程组同解结论
          • 5 二次型
            • 二次型的求法
            • 合同的判定
            • 二次型最值
            • 【拓展】满秩方阵 AAT 性质总结

              1 行列式计算方法

              • 加边法(展开定理推论):外围加一圈
              • 爪型通法:后几列逐渐消去第一列第 2 2 2行~第 n n n行, a 11 a_{11} a11​项变成一个和式,行列式变成上/下三角
              • 解行列式递推式 D n + α D n − 1 + β D n − 2 = 0 D_n+αD_{n-1}+βD_{n-2}=0 Dn​+αDn−1​+βDn−2​=0 —— 二阶差分方程(仅供参考)
                1. 改写递推式为 D n + 2 + α D n + 1 + β D n = 0 D_{n+2}+αD_{n+1}+βD_{n}=0 Dn+2​+αDn+1​+βDn​=0 ,将其视作微分方程 y ′ ′ + α y ′ + β y = 0 y''+αy'+βy=0 y′′+αy′+βy=0 来解
                2. 微调通解公式:用 r n r^n rn 替换 e r x e^{rx} erx 。其他完全一致
              • 特征方程行列式转圈化简
                1. 顺/逆时针选择没有 λ \lambda λ 的数
                2. 化简其他没有 λ \lambda λ 的数
                3. 要求产生 λ \lambda λ 的公因子

                2 矩阵·特征值·特征向量重要结论

                AB=O性质

                • A B = O ⇒ AB=O \Rightarrow AB=O⇒
                  1. r ( A ) + r ( B ) ≤ n r(A)+r(B)≤n r(A)+r(B)≤n

                    填空第9题,然而做错了(

                    数二强化冲刺笔记(下),线性代数,数二强化冲刺笔记(下),线性代数全攻略 第2张
                    (图片来源网络,侵删)
                  2. B B B 的列向量均为齐次方程 A x = 0 Ax=0 Ax=0 的解
                  3. 若 A A A 为 n n n 阶方阵,则 B B B 的非零列向量为 A A A 的特征值 0 0 0 的特征向量

                  求矩阵高次幂

                  1. 秩为 1 1 1

                    r ( A ) = 1 ⇔ A = α β T , 其中 α 为 A 的极大无关组 , β T 由其系数构成 r(A)=1 \Leftrightarrow A=\alpha \beta^T,其中\alpha为A的极大无关组,β^T由其系数构成 r(A)=1⇔A=αβT,其中α为A的极大无关组,βT由其系数构成

                    ∴ A n = α ( β T α ) ( β T . . . α ) β T = ( β T α ) n − 1 α β T \therefore A^n= \alpha (\beta^T \alpha) (\beta^T ... \alpha) \beta^T=(\beta^T \alpha)^{n-1}\alpha \beta^T ∴An=α(βTα)(βT...α)βT=(βTα)n−1αβT

                    即 A n = t r ( A ) n − 1 A A^n=tr(A)^{n-1}A An=tr(A)n−1A

                  2. 分解+二项式定理

                    对3阶矩阵 B = [ 0 0 0 a 0 0 c b 0 ] B=\begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ a & 0 & 0\\ c & b & 0 \end{bmatrix} B= ​0ac​00b​000​ ​,俩数“往角落走”, B 2 = [ 0 0 0 0 0 0 a b 0 0 ] B^2=\begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0\\ ab & 0 & 0 \end{bmatrix} B2= ​00ab​000​000​ ​, B 3 = O B^3=O B3=O,称这种矩阵为 幂0矩阵。

                    故可将该三角矩阵 A A A 分解为单位矩阵和幂0矩阵之和: A = E + B A=E+B A=E+B

                    使用二项式定理展开可得 A n = ( E + B ) n = E n + C n 1 E n − 1 B + C n 2 E n − 2 B 2 A^n=(E+B)^n=E^n+C_n^1E^{n-1}B+C_n^2E^{n-2}B^2 An=(E+B)n=En+Cn1​En−1B+Cn2​En−2B2。

                    同理对4阶矩阵 C = [ 0 a d f 0 0 b e 0 0 0 c 0 0 0 0 ] C=\begin{bmatrix} 0 & a & d & f\\ 0 & 0 & b &e \\ 0 & 0 & 0 &c \\ 0 &0 & 0 &0 \end{bmatrix} C= ​0000​a000​db00​fec0​ ​,两两“一步步往角落走”, C 2 = [ 0 0 a b a b 2 c 0 0 0 b c 0 0 0 0 0 0 0 0 ] C^2=\begin{bmatrix} 0 & 0 & ab & ab^2c\\ 0 & 0 & 0 &bc \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 &0 & 0 &0 \end{bmatrix} C2= ​0000​0000​ab000​ab2cbc00​ ​, C 3 = [ 0 0 0 a b c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] C^3=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & abc\\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 &0 & 0 &0 \end{bmatrix} C3= ​0000​0000​0000​abc000​ ​, C 4 = O C^4=O C4=O 。之后同3阶情况展开。

                  3. 分块:利用分块矩阵乘法
                  4. 相似/相似对角化:直接求特征值,拼成 Λ \Lambda Λ

                    P − 1 A P = Λ = diag ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ) P^{-1}AP=\Lambda=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) P−1AP=Λ=diag(λ1​,λ2​,...,λn​),得 A = P Λ P − 1 A=P\Lambda P^{-1} A=PΛP−1

                    ∴ A n = P Λ P − 1 . . . P Λ P − 1 = P Λ n P − 1 = P diag ( λ 1 n , λ 2 n , . . . , λ n n ) P − 1 \therefore A^n=P\Lambda P^{-1}...P\Lambda P^{-1}=P\Lambda^n P^{-1}=P\text{diag}(\lambda_1^n,\lambda_2^n,...,\lambda_n^n) P^{-1} ∴An=PΛP−1...PΛP−1=PΛnP−1=Pdiag(λ1n​,λ2n​,...,λnn​)P−1

                  矩阵可交换

                  • 方阵 A B = E AB=E AB=E 或 B A = E BA=E BA=E ⇔ \Leftrightarrow ⇔

                    (1) A A A 可逆 (2) A A A 可用于求逆 B = A − 1 B=A^{-1} B=A−1 (3) A , B A,B A,B可交换

                    选择第10题,然而还是做错了(

                  • A , B A,B A,B 可交换的充分条件:
                    1. B = f ( A ) B=f(A) B=f(A) ,其中 f ( A ) f(A) f(A) 可推广为 E , A − 1 , A ∗ E,A^{-1},A^* E,A−1,A∗
                    2. 乘积为线性组合(系数非0) A B = a A + b B   ( a b ≠ 0 ) AB=aA+bB\ (ab≠0) AB=aA+bB (ab=0)
                    3. 二次方程 A 2 + a A B = E   ( a ≠ 0 ) A^2+aAB=E\ (a≠0) A2+aAB=E (a=0)

                    广义初等变换与初等矩阵

                    (对比狭义上的初等变换与初等矩阵定义)

                    • 广义初等变换:
                      1. 两行 / 列互换
                      2. 一行左乘矩阵加到另一行 / 一列右乘矩阵加到另一列
                      3. 一行左乘可逆矩阵 / 一列右乘可逆矩阵
                    • 广义初等矩阵:

                      对分块矩阵 [ E O O E ] \begin{bmatrix} E & O \\ O& E \\ \end{bmatrix} [EO​OE​] 作广义初等变换得到的矩阵。

                    • 性质:
                      1. 广义初等行/列变换相当于左/右乘相应的广义初等矩阵
                      2. 广义初等矩阵均可逆,故做广义初等变换仍有秩不变
                      3. 由于行、列变换时矩阵乘法方向不同,故无法同狭义变换一样无条件消元

                      行/列满秩矩阵

                      • 行满秩 r ( A m × n ) = m r(A_{m×n})=m r(Am×n​)=m
                        1. 右乘可消去: B A = C A ⇒ B = C BA=CA \Rightarrow B=C BA=CA⇒B=C
                        2. 右乘秩不变: r ( B A ) = r ( B ) r(BA)=r(B) r(BA)=r(B)
                        3. A A A 的行向量组无关
                        4. 非齐次 A x = b Ax=b Ax=b 有解
                      • 列满秩 r ( A m × n ) = n r(A_{m×n})=n r(Am×n​)=n
                        1. 左乘可消去: A B = A C ⇒ B = C AB=AC \Rightarrow B=C AB=AC⇒B=C
                        2. 左乘秩不变: r ( A B ) = r ( B ) r(AB)=r(B) r(AB)=r(B)
                        3. A A A 的列向量组无关
                        4. 齐次 A x = 0 Ax=0 Ax=0 只有零解
                        5. 齐次 A B x = 0 ABx=0 ABx=0 与 B x = 0 Bx=0 Bx=0 同解

                        矩阵方程解法总结

                        A X = B AX=B AX=B , X X X 为未知矩阵

                        1. 逆( A A A 可逆): X = A − 1 B X=A^{-1}B X=A−1B

                          通常法:先求 A − 1 A^{-1} A−1

                          快法:一起做: ( A ∣ B ) → ( E ∣ A − 1 B ) (A|B) \rightarrow (E|A^{-1}B) (A∣B)→(E∣A−1B)

                        2. 待定系数(2阶)

                          令 X = ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) T X = (x1,x2,x3,x4)^T X=(x1,x2,x3,x4)T,将矩阵方程转化为非齐次方程组

                        3. 分块矩阵

                          令 B = ( β 1 , β 2 , . . . , β n ) B=(β_1,β_2,...,β_n) B=(β1​,β2​,...,βn​),则 A x = β i ,   i = 1 , 2 , . . . , n Ax=β_i,\ i=1,2,...,n Ax=βi​, i=1,2,...,n

                          将 ( A ∣ B ) (A|B) (A∣B) 化为行最简形即得

                          • 推广: X A = B ⇒ A T X T = B T XA=B \Rightarrow A^TX^T=B^T XA=B⇒ATXT=BT

                            解不唯一时,自由变量(左块自由列每行)分别取 k 1 , k 2 , . . . , k n k_1,k_2,...,k_n k1​,k2​,...,kn​

                        各行/列元素之和为…

                        • A A A 的各行元素之和为 λ \lambda λ ⇔ A ( 1 , 1 , . . . , 1 ) T = λ ( 1 , 1 , . . . , 1 ) T ⇔ ( 1 , 1 , . . . , 1 ) T 为 A 的特征值 λ 的特征向量 \Leftrightarrow A(1,1,...,1)^T=\lambda (1,1,...,1)^T \Leftrightarrow (1,1,...,1)^T为A的特征值\lambda 的特征向量 ⇔A(1,1,...,1)T=λ(1,1,...,1)T⇔(1,1,...,1)T为A的特征值λ的特征向量
                        • A A A 的各列元素之和为 λ \lambda λ ⇔ \Leftrightarrow ⇔ A T A^T AT 的各行元素之和为 λ \lambda λ ⇔ ( 1 , 1 , . . . , 1 ) T A = λ ( 1 , 1 , . . . , 1 ) T \Leftrightarrow (1,1,...,1)^T A=\lambda (1,1,...,1)^T ⇔(1,1,...,1)TA=λ(1,1,...,1)T

                          秩为1性质

                          r ( A ) = 1 r(A)=1 r(A)=1 ,即 A = α β T A=\alpha \beta^T A=αβT,其中 α \alpha α 为 A A A 的极大无关组, β \beta β 由其组合系数构成

                          1. 高次幂: A n = t r ( A ) n − 1 A A^n=tr(A)^{n-1}A An=tr(A)n−1A
                          2. 特征值: λ 1 = t r ( A ) , λ 2 = . . . = λ n = 0 \lambda _1=tr(A),\lambda_2=...=\lambda_n=0 λ1​=tr(A),λ2​=...=λn​=0
                          3. 特征向量:
                            • t r ( A ) ≠ 0 tr(A)≠0 tr(A)=0 :

                              λ 1 = t r ( A ) , α 1 = α \lambda _1=tr(A),\alpha_1=\alpha λ1​=tr(A),α1​=α(极大无关组)

                              λ 2 = . . . = λ n = 0 \lambda_2=...=\lambda_n=0 λ2​=...=λn​=0,解 ( A − 0 E ) x = 0 (A-0E)x=0 (A−0E)x=0 即 β T x = 0 \beta^T x=0 βTx=0 ,得无关特向 α 2 , . . . , α n \alpha_2,...,\alpha_n α2​,...,αn​

                            • t r ( A ) = 0 tr(A)=0 tr(A)=0:

                              λ 1 = . . . = λ n = 0 \lambda_1=...=\lambda_n=0 λ1​=...=λn​=0,解 ( A − 0 E ) x = 0 (A-0E)x=0 (A−0E)x=0 即 β T x = 0 \beta^T x=0 βTx=0 ,得无关特向 α 1 , . . . , α n \alpha_1,...,\alpha_n α1​,...,αn​

                            • A A A 可相似对角化 ⇔ t r ( A ) ≠ 0 \Leftrightarrow tr(A)≠0 ⇔tr(A)=0

                          灵活将秩非1矩阵分解为秩为1矩阵。

                          实对称矩阵基本求法

                          • 求正交矩阵 Q Q Q
                            1. 求 A A A 的 n n n 个特征值 λ 1 , . . . , λ n \lambda_1,...,\lambda_n λ1​,...,λn​,组成对角矩阵 Λ \Lambda Λ
                            2. 求 A A A 的 n n n 个无关特向 α 1 , . . . , α n \alpha_1,...,\alpha_n α1​,...,αn​,组成可逆矩阵 P P P
                            3. 将不同特征值的特向分别Schmidt正交化、单位化得 γ 1 , . . . , γ n \gamma_1,...,\gamma_n γ1​,...,γn​,组成正交矩阵 Q Q Q
                          • 求实对称矩阵 A A A
                            • 已知可逆矩阵 P P P : P − 1 A P = Λ ⇒ A = P Λ P − 1 P^{-1}AP=\Lambda \Rightarrow A=P\Lambda P^{-1} P−1AP=Λ⇒A=PΛP−1
                            • 已知正交矩阵 Q Q Q: Q T A Q = Λ ⇒ A = Q Λ Q T Q^TAQ=\Lambda \Rightarrow A=Q\Lambda Q^T QTAQ=Λ⇒A=QΛQT
                            • 分解定理: A = Q Λ Q T = λ 1 γ 1 γ 1 T + . . . + λ n γ n γ n T A=Q\Lambda Q^T=\lambda_1\gamma_1\gamma_1^T+...+\lambda_n\gamma_n\gamma_n^T A=QΛQT=λ1​γ1​γ1T​+...+λn​γn​γnT​
                              • 仅适合秩为一的矩阵: r ( A ) = 1 r(A)=1 r(A)=1 , A = t r ( A ) γ 1 γ 1 T A=tr(A)\gamma_1\gamma_1^T A=tr(A)γ1​γ1T​
                              • 证明两个同阶实对称矩阵 A , B A,B A,B 间关系的充要条件:
                                • 等价: A ≅ B ⇔ r ( A ) = r ( B ) A\cong B \Leftrightarrow r(A)=r(B) A≅B⇔r(A)=r(B)
                                • 相似: A ∼ B ⇔ λ A = λ B A\sim B \Leftrightarrow \lambda_A=\lambda_B A∼B⇔λA​=λB​
                                • 合同: A ≃ B ⇔ A\simeq B \Leftrightarrow A≃B⇔ A , B A,B A,B 的正负惯性指数相同

                                  3 向量概念题技巧

                                  • 任何向量都可由包含这个向量的向量组表示

                                    故 “xx可由yyyy线表” 可任意在"xx"中添加"yyyy"中的向量

                                  • 矩阵与向量相互转化:

                                    矩阵按列分块,得到向量;向量组合,得到矩阵

                                  • 记 A = ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) , B = ( β 1 , β 2 , . . . , β t ) A=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s),B=(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) A=(α1​,α2​,...,αs​),B=(β1​,β2​,...,βt​) ,若 A A A的列向量可由 B B B的列向量表示,则: ∃ P , A = B P \exist P,A=BP ∃P,A=BP

                                    “ A A A的列向量” 等价于 “ A T A^T AT的行向量”

                                    证明线性无关

                                    • 定义法:
                                      1. 设 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s=0 k1​α1​+k2​α2​+...+ks​αs​=0
                                      2. 根据题设乘或重组,尽量使式子变简单。若不可避免地变复杂了,则对式子加加减减之后,各个式子相加减,消去重复项,使得式子变简单。
                                      3. 目标:证明 k 1 = 0 , k 2 = 0 , . . . , k s = 0 k_1=0,k_2=0,...,k_s=0 k1​=0,k2​=0,...,ks​=0
                                    • 秩:将向量组转化为齐次方程组的系数矩阵,考察它的秩。
                                    • 反证法:假设向量组相关,反推出与题设矛盾
                                    • 非零向量正交必无关

                                      二级结论:右乘表示系数阵C(B=AC)

                                      设 3 3 3 维向量组 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1​,α2​,α3​ 线性无关,向量组 β 1 , β 2 , β 3 \beta_1,\beta_2,\beta_3 β1​,β2​,β3​ 可由 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1​,α2​,α3​ 线性表示,即 ( β 1 , β 2 , β 3 ) = ( α 1 , α 2 , α 3 ) C (\beta_1,\beta_2,\beta_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)C (β1​,β2​,β3​)=(α1​,α2​,α3​)C ,其中矩阵 C C C 由表示系数构成。

                                      则: 向量组 β 1 , β 2 , β 3 \beta_1,\beta_2,\beta_3 β1​,β2​,β3​ 线性相关 ⇔ ∣ C ∣ ≠ 0 \Leftrightarrow |C|≠0 ⇔∣C∣=0

                                      证明线性表示

                                      1. 构造方程组,证明方程组有解: r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) = r ( α 1 , α 2 , . . . , α s , β ) r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)=r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta) r(α1​,α2​,...,αs​)=r(α1​,α2​,...,αs​,β)
                                      2. 找出两个条件 —— 无关组 + 1 变相关,则 + 1 的可被无关组表
                                        • α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1​,α2​,...,αs​ 无关, α 1 , α 2 , . . . , α s , β \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta α1​,α2​,...,αs​,β 相关
                                        • 证 k ≠ 0 k≠0 k=0(证明能表出)
                                        • 反证法 (证明不能表出)

                                      填空第16题。最经典的列向量联立 + 行变换至阶梯形 + 分类讨论,纯送分。

                                      证明向量组表示、等价等性质

                                      • 同时解所有方程组,例: ( α 1 , α 2 , α 3   ∣   β 1 , β 2 , β 3 ) (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\ | \ \beta_1,\beta_2,\beta_3) (α1​,α2​,α3​ ∣ β1​,β2​,β3​)
                                      • 二级结论
                                        1. 多被少表,多必相关
                                        2. 无关被表,个数不多

                                        4 线性方程组

                                        方程组同解结论

                                        基础结论略

                                        核心:画图!转化成向量组等价思考!

                                        【24数二-22题】线代大题第1问! A x = 0 Ax=0 Ax=0 的解全是 B x = 0 Bx=0 Bx=0 的解 且 两方程组非同解 ⇒ r ( A ) > r ( B ) \Rightarrow r(A)>r(B) ⇒r(A)>r(B) !!!!!

                                        • 设 A = ( α 1 T , α 2 T , . . . , α m T ) T ,   B = ( β 1 T , β 2 T , . . . , β m T ) T A=(\alpha_1^T,\alpha_2^T,...,\alpha_m^T)^T,\ B=(\beta_1^T,\beta_2^T,...,\beta_m^T)^T A=(α1T​,α2T​,...,αmT​)T, B=(β1T​,β2T​,...,βmT​)T (都用行组表示),两方程组 A x = 0 ,   B x = 0 Ax=0,\ Bx=0 Ax=0, Bx=0,则
                                          • A A A 的行组可由 B B B 的行组线表

                                            ⇔ \Leftrightarrow ⇔ B x = 0 Bx=0 Bx=0 的基础解系可由 A x = 0 Ax=0 Ax=0 的基础解系线表

                                            ⇔ B x = 0 \Leftrightarrow Bx=0 ⇔Bx=0 的解全是 A x = 0 Ax=0 Ax=0 的解

                                            ⇔ r ( B ) = r ( A , B 联立 ) \Leftrightarrow r(B)=r(A,B 联立) ⇔r(B)=r(A,B联立)

                                            ⇔ ∃   C ,   C B = A \Leftrightarrow \exist\ C,\ CB=A ⇔∃ C, CB=A

                                            ⇒ r ( A ) ≤ r ( B ) \Rightarrow r(A)≤r(B) ⇒r(A)≤r(B)

                                          • 若 r ( A ) = r ( B ) r(A)=r(B) r(A)=r(B) 且 其中一个的解均是另一个的解,则两方程组同解
                                          • A T A x = 0 A^TAx=0 ATAx=0 与 A x = 0 Ax=0 Ax=0 同解,即==左乘转置同解==
                                          • 若 A x = 0 Ax=0 Ax=0 的解均是 B x = 0 Bx=0 Bx=0 的解,则 A x = 0 Ax=0 Ax=0 与 ( A , B 联立 ) x = 0 (A,B联立)x=0 (A,B联立)x=0 同解
                                          • 左乘列满秩同解

                                            5 二次型

                                            二次型的求法

                                            • 选填题 —— 根据形如 f = ( x 1 + a x 2 ) 2 + ( b x 2 + x 3 ) 2 + ( c x 1 + x 3 ) 2 f=(x_1+ax_2)^2+(bx_2+x_3)^2+(cx_1+x_3)^2 f=(x1​+ax2​)2+(bx2​+x3​)2+(cx1​+x3​)2 的二次型写出对应的矩阵 A A A
                                              1. 通法:直接展开!
                                              2. 快法:按线性变换的形式写出矩阵 B B B(不一定可逆),则有 A = B T B A=B^{\text{T}}B A=BTB

                                                例如根据上述 f f f 的矩阵可得 B = [ 1 a 0 0 b 1 c 0 1 ] B=\begin{bmatrix} 1 &a &0 \\ 0 & b & 1\\ c & 0 & 1 \end{bmatrix} B= ​10c​ab0​011​ ​ ,进一步可得 A A A 。

                                            • 解答题
                                              • 拉格朗日配方法( B ≃ A B\simeq A B≃A)
                                                1. 配方:先 x 1 x_1 x1​ 配干净,再 x 2 x_2 x2​ 配干净,以此类推
                                                2. 令 y 1 , y 2 , y 3 = . . . y1,y2,y3=... y1,y2,y3=... 。反写 x 1 , x 2 , x 3 = . . . x_1,x_2,x_3=... x1​,x2​,x3​=... ,即 X = C Y X=CY X=CY,其中必有 ∣ C ∣ = 1 ≠ 0 |C|=1≠0 ∣C∣=1=0

                                                  经过可逆线性变换 X = C Y X=CY X=CY,二次型化为标准型(系数非特征值),变换前后矩阵合同

                                              • 正交变换法( B ≃ A B \simeq A B≃A 且 B ∼ A B \sim A B∼A)
                                                1. 求 A A A 的特征值
                                                2. 求 A A A 的无关特向
                                                3. 正交化、单位化(步骤与正交相似对角化一模一样)

                                                  经过正交变换 X = Q Y X=QY X=QY,二次型化为标准型(系数为特征值),变换前后矩阵相似

                                                注:实对称矩阵必然能正交相似对角化,故两个特征值相同的实对称矩阵可以互相正交相似对角化!进一步,两个二次型可以通过正交变换相互转化!

                                              • 合同变换法(超纲)

                                                注:所有的变换均为形如 X = □ Y X=□Y X=□Y 的形式,故必要时需多一步反解操作

                                                合同的判定

                                                1. 惯性相同:对比正、负惯性指数,即正、负特征值个数
                                                2. 实对称矩阵只能与实对称矩阵合同

                                                二次型最值

                                                • 方法:规范形放缩
                                                  1. 由正交变换 x = Q y x=Qy x=Qy,得 f = x T A x = y T ( Q T A Q ) y = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + λ 3 y 3 2 f=x^\text{T}Ax=y^\text{T}(Q^\text{T}AQ)y=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2 f=xTAx=yT(QTAQ)y=λ1​y12​+λ2​y22​+λ3​y32​,其中特征值大小关系 λ 1 ≤ λ 2 ≤ λ 3 \lambda_1≤\lambda_2≤\lambda_3 λ1​≤λ2​≤λ3​
                                                  2. 故放缩可得 λ 1 y 1 2 + λ 1 y 2 2 + λ 1 y 3 2 ≤ λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + λ 3 y 3 2 ≤ λ 3 y 1 2 + λ 3 y 2 2 + λ 3 y 3 2 \lambda_1y_1^2+\lambda_1y_2^2+\lambda_1y_3^2≤\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2≤\lambda_3y_1^2+\lambda_3y_2^2+\lambda_3y_3^2 λ1​y12​+λ1​y22​+λ1​y32​≤λ1​y12​+λ2​y22​+λ3​y32​≤λ3​y12​+λ3​y22​+λ3​y32​ ,即 λ 1 y T y ≤ x T A x ≤ λ 3 y T y \lambda_1y^\text{T}y≤x^\text{T}Ax≤\lambda_3y^\text{T}y λ1​yTy≤xTAx≤λ3​yTy
                                                  3. 由 x T x = ( Q y ) T ( Q y ) = y T ( Q T Q ) y = y T y x^\text{T}x=(Qy)^\text{T}(Qy)=y^\text{T}(Q^\text{T}Q)y=y^\text{T}y xTx=(Qy)T(Qy)=yT(QTQ)y=yTy ,故 λ 1 x T x ≤ x T A x ≤ λ 3 x T x \lambda_1x^\text{T}x≤x^\text{T}Ax≤\lambda_3x^\text{T}x λ1​xTx≤xTAx≤λ3​xTx ,之后处理 x T x x^\text{T}x xTx 即可(“不妨令……”)

                                                  可逆线性变换所得的规范形或标准形同理

                                                  【拓展】满秩方阵 AAT 性质总结

                                                  r ( A m × n ) = m ,   A A T 为 m × m 方阵 r(A_{m×n})=m,\ AA^T为m×m方阵 r(Am×n​)=m, AAT为m×m方阵

                                                  ⇔ ∣ A A T ∣ ≠ 0 \Leftrightarrow |AA^T|≠0 ⇔∣AAT∣=0

                                                  ⇔ A A T 可逆 \Leftrightarrow AA^T 可逆 ⇔AAT可逆

                                                  ⇔ r ( A A T ) = r ( A ) = m \Leftrightarrow r(AA^T)=r(A)=m ⇔r(AAT)=r(A)=m

                                                  ⇔ A A T ≅ E m × m \Leftrightarrow AA^T \cong E_{m×m} ⇔AAT≅Em×m​

                                                  ⇔ A A T 行 / 列向量无关 \Leftrightarrow AA^T 行/列向量无关 ⇔AAT行/列向量无关

                                                  ⇔ 齐次 A A T x = 0 只有零解 \Leftrightarrow 齐次AA^Tx=0只有零解 ⇔齐次AATx=0只有零解

                                                  ⇔ 非齐次 A A T x = b 有唯一解 \Leftrightarrow 非齐次 AA^Tx=b有唯一解 ⇔非齐次AATx=b有唯一解

                                                  ⇔ A A T 特征值均不为 0 \Leftrightarrow AA^T特征值均不为0 ⇔AAT特征值均不为0

                                                  ⇒ A A T 可相似对角化 \Rightarrow AA^T 可相似对角化 ⇒AAT可相似对角化

                                                  ⇒ A A T 为实对称矩阵 \Rightarrow AA^T为实对称矩阵 ⇒AAT为实对称矩阵

                                                  ⇔ A A T ≃ E \Leftrightarrow AA^T \simeq E ⇔AAT≃E

                                                  ⇔ A A T 正定 \Leftrightarrow AA^T 正定 ⇔AAT正定


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