一级倒立摆控制 —— PID 控制器设计及 MATLAB 实现

前言

在本页中，我们将为倒立摆系统设计一个 PID 控制器。在设计过程中，我们将假设一个单输入、单输出设备，其传递函数如下。除此以外，我们将尝试在不考虑小车位置的情况下控制摆的角度。

摆杆传递函数方程：

P p e n d ( s ) = Φ ( s ) U ( s ) = m l q s 2 s 4 + b ( I + m l 2 ) q s 3 − ( M + m ) m g l q s 2 − b m g l q s P_{pend}(s)=\dfrac{\Phi(s)}{U(s)}=\dfrac{\dfrac{ml}{q}s^2}{s^4+\dfrac{b(I+ml^2)}{q}s^3-\dfrac{(M+m)mgl}{q}s^2-\dfrac{bmgl}{q}s} Ppend​(s)=U(s)Φ(s)​=s4+qb(I+ml2)​s3−q(M+m)mgl​s2−qbmgl​sqml​s2​

式中， q = [ ( M + m ) ( I + m l 2 ) − ( m l ) 2 ] q=[(M+m)(I+ml^2)-(ml)^2] q=[(M+m)(I+ml2)−(ml)2]

更具体地说，当小车受到 1-Nsec 的冲力时，控制器将试图保持摆锤垂直向上。在这些条件下，设计标准是：

1. 稳定时间小于 5 秒
2. 摆锤偏离垂直方向的幅度不应超过 0.05 弧度

有关原始问题设置和上述传递函数的推导，请查阅倒立摆： 系统建模页面。

一、系统结构

这个问题的控制器结构与您可能习惯的标准控制问题有些不同。由于我们试图控制摆的位置，而摆的位置在受到初始扰动后应返回垂直方向，因此我们跟踪的参考信号应为零。这种情况通常被称为调节器问题。施加在小车上的外力可视为脉冲干扰。该问题的示意图如下。

如果我们先将原理图重新排列如下，您可能会发现分析和设计该系统更加容易。

因此，闭环系统从力 F F F 输入到摆角 ϕ \phi ϕ 输出的传递函数 T ( s ) T(s) T(s) 确定如下。

T ( s ) = Φ ( s ) U ( s ) = P p e n d ( s ) 1 + C ( s ) P p e n d ( s ) \begin{equation} T(s)=\dfrac{\Phi(s)}{U(s)}=\dfrac{P_{pend}(s)}{1+C(s)P_{pend}(s)} \end{equation} T(s)=U(s)Φ(s)​=1+C(s)Ppend​(s)Ppend​(s)​​​

在开始设计 PID 控制器之前，我们首先需要在 MATLAB 中定义倒立摆传递函数模型。创建一个新的 .m 文件并键入以下命令来创建传递函数模型（有关获取这些命令的详细信息，请参阅主问题）。

M = 0.5;
m = 0.2;
b = 0.1;
I = 0.006;
g = 9.8;
l = 0.3;
q = (M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2;
s = tf('s');
P_pend = (m*l*s/q)/(s^3 + (b*(I + m*l^2))*s^2/q - ((M + m)*m*g*l)*s/q - b*m*g*l/q);

接下来，我们将定义一个 PID 控制器。

二、PID 控制

在 MATLAB 中可以通过将以下代码复制到 .m 文件末尾来模拟闭环传递函数（无论您使用的是传递函数形式还是模型的状态空间表示形式）。具体来说，我们使用 MATLAB 中的 pid 对象定义控制器。然后，我们使用反馈命令生成闭环传递函数 T ( s ) T(s) T(s)，如上图所示，其中干扰力 F F F 为输入，摆锤角度与垂直方向的偏差 ϕ \phi ϕ 为输出。

t=0:0.01:10;
impulse(T,t)
title({'Response of Pendulum Position to an Impulse Disturbance';'under PID Control: Kp = 1, Ki = 1, Kd = 1'});

这个响应仍然不稳定。让我们开始通过增加比例增益来修改响应。增加 K p K_p Kp​ 变量，看看它对响应有什么影响。如果将 .m 文件修改为 K p K_p Kp​ = 100，并在命令窗口中运行，将得到下图所示的响应图。

Kp = 100;
Ki = 1;
Kd = 1;
C = pid(Kp,Ki,Kd);
T = feedback(P_pend,C);
t=0:0.01:10;
impulse(T,t)
axis([0, 2.5, -0.2, 0.2]);
title({'Response of Pendulum Position to an Impulse Disturbance';'under PID Control: Kp = 100, Ki = 1, Kd = 1'});