算法的时间复杂度与空间复杂度，算法的时间复杂度与空间复杂度解析及关系探讨

摘要：算法的时间复杂度和空间复杂度是衡量算法效率的两大重要指标。时间复杂度描述算法执行时间随输入数据规模增长的趋势，反映了算法的运行效率；空间复杂度则描述算法所需存储空间随输入数据规模的变化情况，反映了算法的存储效率。在实际应用中，需要根据具体需求和资源限制选择合适的算法，以在时间和空空间之间取得最优的平衡。

俗话说“条条大路通罗马”，我们在用算法解决某一个问题时，往往会存在多种解决方法，但正如道路有远近之分，不同的算法也应有优劣之别，为了更清晰地量化算法的优劣，我们需要引入算法的时间复杂度与空间复杂度。

我将为大家梳理一下时间复杂度的相关知识。

1、时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个数学函数，它定量描述了算法的运行时间，一个算法所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有把你的程序放在机器上跑起来，才能知道，但是我们需要每个算法都上机测试吗？当然可以，但这很麻烦，我们有了时间复杂度这个分析方式，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

2、时间复杂度的求法

（1）O（n）渐进表示法

我们先来看一段代码：

void func1(int N){
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < N) { // 这里假设存在一个循环错误，应该是i < N而不是i 0
        count++;
    }
    System.out.println(count);
}

第一段有一个双重for循环，全部遍历完需要N^2次，中间的单层for循环遍历完需要N次，最后的while循环由于M的值是10，因此遍历完需要10次，所以func1的基本操作执行的总次数为：F(N)=N^2+N+10，这时我们试着带入几种情况试一试：N=10, F(10)=130；N=100, F(100)=10210；N=1000, F(1000)=1002010，我们会发现随着N取值的增大，F(N)的决定项中N和10对总次数的影响会越来越小，运用数学中的极限思想，当N非常大时，F(N)的取值将只由项N^2决定，这时我们就可以说func1的时间复杂度为O(N^2)了。

在实际计算时间复杂度时，我们并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概的执行次数，这里我们使用大O的渐进表示法，大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号，我们在推导时间复杂度时，其实就是对这些原理的具体阐释，Func1的时间复杂度为：O(N^2)，这时我们再带入几个值看看：N=10, F(N)=100；N=100, F(N)=10000；N=1000, F(N)=1000000，正如我们之前的推导，通过大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数，注意，有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况，在计算时间复杂度时，我们一般都是考虑最坏情况，因为最坏情况的运行时间直接决定了算法的效率高低，在计算过程中，我们通常使用推导大O阶的方法：用常数1取代运行时间中的所有加法常数；在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项；如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数，得到的结果就是大O阶，这时我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数，有些算法在计算时间复杂度时需要考虑空间复杂度的影响，例如二分查找的时间复杂度就与空间复杂度有关，二分查找每次排除掉一半的不适合值，因此一次二分剩下：n/2 两次二分剩下：n/2/2 = n/4等，究其根本，求解时间复杂度就是在求最坏情况下程序执行的次数，递归类型的问题可以通过递归次数和每次递归的执行次数来计算时间复杂度，例如阶乘递归的时间复杂度为O(N)，斐波那契递归的时间复杂度为O(2^N)，空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度，空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法，对于某些算法的空间复杂度分析需要结合具体实现方式来进行计算和分析，例如冒泡排序的空间复杂度为O(1)，而斐波那契数列的空间复杂度则需要考虑递归过程中使用的额外空间大小等因素来计算和分析，理解并掌握时间复杂度和空间复杂度的计算方法和原理对于评估算法效率和优化算法性能具有重要意义，在实际应用中需要根据具体问题和场景选择合适的算法和数据结构以达到最优的性能表现。